Рассмотрим для большей конкретности пример проблемы "остановки". Очевидно, что абсурдность возникает здесь лишь в том случае, если предполагаемое устройство, эффективно решающее данную проблему для любых алгоритмов и любых входных данных, является алгоритмическим устройством, т.е. действует на основе некоторого алгоритма. В самом деле, пусть Е - есть устройство успешно решающее проблему остановки, т.е. это устройство способное по произвольному алгоритму и произвольному "входу" установить (за конечное время) остановится данный алгоритм или же будет работать вечно. Тогда, очевидно, можно построить и устройство способное эффективно распознавать несамоприменимость алгоритмов, а также устройство, которое будет работать останавливаясь и выдавая некий результат в том и только в том случае, если на "вход" вводится описание несамоприменимого алгоритма. Будет ли существование такого устройства чем-то парадоксальным, самопротиворечивым? Парадокс возникает, как мы помним, в том случае, когда мы задаемся вопросом: является ли алгоритм применимый ко всем несамоприменимым алгоритмам самоприменимым, или же он является несамоприменимым? Ясно, что если этот алгоритм самоприменим, то устройство должно остановиться (в силу определения самоприменимости) и, одновременно, не должно остановиться, поскольку применимо лишь к несамоприменимым алгоритмам. Аналогичный результат мы получаем и в случае несамоприменимости данного алгоритма.
Однако такой вопрос можно осмысленно задать лишь в отношении устройства, которое подчинено некоторому алгоритму, и который можно записать в виде текста и ввести в качестве "входа" в это же самое устройство. Если же устройство не подчинено какой-либо однозначно заданной совокупности предписаний, т.е. не является алгоритмическим устройством, то данный вопрос утрачивает всякий смысл. Но в таком случае исчезает и описанный выше парадокс. Таким образом, нет ничего парадоксального и противоречивого в предположении о возможности существовании устройства, применимого лишь к несамоприменимым алгоритмам, при условии, что само это устройство не является алгоритмическим.
Человек, конечно, не может решить такие алгоритмически неразрешимые проблемы, как проблема построения, сажем, "каталога всех и только всех несамоназывающихся каталогов" или построения прочих парадоксальных объектов. Однако, в других случаях, никакого противоречия в предположении о возможности решении любых единичных задач, составляющих алгоритмически неразрешимую массовую проблему, не существует (если эта возможность не сопряжена непременно с необходимостью указания алгоритма решения данной массовой проблемы).
Если мы допускаем возможность существования неформализуемых систем (систем, которые не допускают четкого и однозначного описания принципов своего функционирования посредством конечного набора правил), то мы должны, также, допустить и возможность существования устройств, способных решать алгоритмически неразрешимые проблемы, подобные проблеме "остановки".
3. Некоторые авторы утверждают, что для человека, также как и для машины, вполне можно сформулировать неразрешимые предложения, аналогичные геделевским предложениям (2).
Рассмотрим, к примеру, утверждение (обозначим его "утверждение 1*):
1* [Иванов не способен доказать данное утверждение 1*]
Спрашивается: может ли Иванов доказать данное утверждение? Если "да", то это утверждение истинно и, следовательно, Иванов не способен его доказать. Если же нет", то оно истинно, но недоказуемо (для Иванова). Однако я, Иванов, вполне ясно вижу, что данное утверждение истинно - что непосредственно доказывается мною в предшествующем рассуждении. Иными словами, хотя формально данное предложение для меня является "недоказумым", тем не менее, фактически я способен "неформально" доказать его истинность - указав, например, что это предложение является геделевским предложением для системы "Иванов" и уже потому истинно. Каким же образом я способен сделать этот формально "запрещенный" для меня вывод? Очевидно, делая этот вывод, я как бы мысленно дистанцируюсь от самого себя, т.е. как бы создаю некое "виртуальное" "Я" или "виртуалього субъекта", не тождественного субъекту, фигурирующему в утверждении 1* под именем "Иванов". Это позволяет мне воспринять данную ситуацию извне, с позиции стороннего наблюдателя. Если для исходного "Я" (Иванова) предложение 1* формально неразрешимо, то для "виртуального Я" (Иванова') - оно оказывается вполне разрешимым.
https://scisne.net/a-1003
|